עוד על היחס בין התיאוריה למציאות: משמעותן של הלוגיקה והמתמטיקה (טור 50)

בס"ד

בשני הטורים הקודמים עמדתי על היחס בין התיאוריה למציאות. ראינו שם שעיקר חשיבותה של תיאוריה היא במתן תובנות עקרוניות, לפעמים לא טריוויאליות, אבל השימוש בה זוקק זהירות רבה. התיאוריה היא אכן פשטנית מעצם טיבה, אבל זו לא האשמה. זה טיבן של תיאוריות, זו עוצמתן וזו גם חולשתן. ההאשמה בפשטנות רלוונטית ומוצדקת כשהיא מופנית כלפי מי שחושב שהתיאוריה מתארת אל נכון את המציאות וניתנת ליישום מעשי פשוט לגביה. הפשטנות היא התפיסה או ההנחה שהתיאוריה תפתור כל קושיות ובעיות. בטור זה ארחיב מעט את היריעה לגבי היחס בין הלוגיקה למציאות.

טיעונים וטענות: על לוגיקה ועובדות

תיאוריה היא מושג שמשמש בתחומי המדע, ועניינה הוא תיאור לכיד וקוהרנטי של העובדות במסגרת מושגית ולוגית אחת. כך התיאוריה של הגרביטציה מסבירה אוסף שלם של תופעות (גאות ושפל, מסלולי הכוכבים, נפילת עצמים לכדור הארץ) בכך שהיא מכניסה את כולן למסגרת מושגית ולוגית אחת: כל שני גופים בעלי מסה מושכים זה את זה בכוח שפרופורציוני למכפלת המסות ופרופורציוני הפוך לריבוע המרחק ביניהם. התיאוריה הזאת מצליחה להסביר את כל העובדות שהזכרתי למעלה (ועוד הרבה אחרות). אבל העובדה שיש לתיאוריה הזאת מבנה לוגי ושהיא משתמשת בשפת המתמטיקה, לא אומרת שמדובר בלוגיקה. הלוגיקה היא חסרת תוכן עובדתי מצד עצמה, שכן היא עוסקת בקשרים שונים בין העובדות ולא בעובדות עצמן. בעובדות עוסק המדע, ושם הלוגיקה והמתמטיקה הן לכל היותר שפות.

טיעון לוגי יכול לטעון את הדבר הבא: אם כל השולחנות הם בעלי רגליים, והעצם שלפניי הוא שולחן, כי אז לעצם שלפניי יש רגליים. הטיעון הזה לא אומר שלכל השולחנות יש רגליים, וגם לא שלעצם שלפניי יש רגליים. הוא רק טוען שיש קשר בין שתי הטענות הראשונות (ההנחות) לבין השלישית (המסקנה): היא  נובעת מהן בהכרח. כלומר אם הן נכונות אז בהכרח גם היא נכונה (לא ייתכן שהן נכונות והיא לא). בה במידה ניתן להעלות את הטיעון הלוגי הבא: אם כל השולחנות הם טובי לב, והכיסא שלידי הוא שולחן, כי אז הכיסא שלידי הוא טוב לב. שלוש הטענות שמשתתפות במסיבת התה המשוגעת הזאת שגויות כמובן, ועדיין הטיעון שהן מרכיבות הוא תקף, שכן המסקנה שלו נובעת בהכרח מההנחות (לא ניתן לקבל את ההנחות שלו ולדחות את המסקנה).

טענה עוסקת בעובדות ונבחנת במושגים של אמת ושקר. לעומת זאת, טיעון לוגי עוסק בקשר בין טענות, ונשפט במונחי תקף (=המסקנה שלו נובעת בהכרח מההנחות) ובטל (=לא תקף). כמעט אין קשר בין אמתיות ושקריות של טענות לבין תקפות או בטלות של טיעון שהן מרכיבות.[1] באמתיות ושקריות של טענות עוסק המדע (והתצפית בכלל), ואילו בתקפות ובטלות של טיעונים עוסקת הלוגיקה (והמתמטיקה. ראה להלן). לטיעון לוגי אין תוכן עובדתי. הוא ריק מתוכן עובדתי, שכן הוא עוסק רק בקשר בין עובדות ולא באמתיות והשקריות שלהן עצמן. טענות כאלה שריקות ממידע עובדתי ואמתותן נובעת מהמבנה הלוגי שלהן קרויות טאוטולוגיות. התוכן העובדתי מצוי בטענות שמרכיבות את הטיעון, וכאמור מי שעוסק בו הוא המדע.

המתמטיקה והחיים

הוכחה מתמטית היא טיעון לוגי. היא יוצאת מהנחות כלשהן (אקסיומות) ומראה שמי שמאמץ אותן לא יכול לדחות את המסקנה שמוכחת על בסיסן. לכן לפחות במובן הזה המתמטיקה שייכת ללוגיקה.[2] גם היא עוסקת בטיעונים שנכונים בהכרח, וגם הם נטולי תוכן מדעי. לכן מי שעוסק בה הוא לא המדען אלא המתמטיקאי. בהסתכלות הזאת, המשפט שסכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות, הוא נטול תוכן עובדתי. מה שהוא אומר אינו שהסכום הוא אכן 180, אלא שאם תאמצו את ההנחות של הגיאומטריה האוקלידית כי אז בהכרח עליכם לקבל את המסקנה שסכום הזוויות במשולש הוא 180. אתם יכולים להתכחש להנחות ובכך אתם פטורים מעולה של המסקנה.

עדיין יש לטיעון המתמטי הזה חשיבות מעשית רבה מאד. אם אכן נשתכנע שהאקסיומות של הגיאומטריה מתארות נכון את העולם שלנו, כי אז בהכרח יהיה עלינו להסיק שבכל משולש שנצייר בעולם הזה סכום הזוויות יהיה 180. כאן עברנו מהלוגיקה לחיים, שהרי כעת מדובר בטענות בעלות תוכן עובדתי. אבל חשוב להבין שלא למדנו את המסקנה הזאת מהלוגיקה בלבד. היה עלינו להשתכנע תחילה באמיתות ההנחות (האקסיומות), ורק הצירוף של האקסיומות עם ההיסק המתמטי-לוגי מביא אותנו למסקנה הנ"ל.

אם כן, אדם יכול להתכחש לכך שסכום הזוויות במשולש בעולם כלשהו הוא 180, אבל כדי להישאר עקבי לוגית יהיה עליו להתכחש גם לאחת לפחות מהאקסיומות של הגיאומטריה האוקלידית. ואכן במאה התשע-עשרה נוצרו גיאומטריות אחרות (לא אוקלידיות) שמניחות הנחות אחרות ועדיין שומרות על עקביות. במובן המתמטי-לוגי הן נכונות לא פחות מזו האוקלידית, אבל לשאלה מי מהן מתארת את העולם שלנו יש רק תשובה נכונה אחת. השאלה לגבי הנכונות, כמו גם התשובה, שייכת לפיסיקה ולא למתמטיקה או ללוגיקה. התצפית תכריע לגביה, והמתמטיקה לכל היותר תסייע לנו לתאר את הממצאים התצפיתיים שלנו. בשולי הדברים, מעניין לציין שבעקבות תורת היחסות הכללית של איינשטיין מתברר שהעולם שלנו דווקא לא ממש אוקלידי (אלא רק בקירוב. הסטייה מהמבנה האוקלידי שלו היא קטנה, ובד"כ זניחה לגמרי).

דוגמה לתפקידה של הלוגיקה במדע: הברירה הטבעית

אם נשוב כעת לדוגמה של הגרביטציה שנדונה למעלה, גם שם המתמטיקה היא השפה שבהם כותבים את התיאוריה. תיאורו של כוח המשיכה הגרביטציוני נתון בנוסחה מתמטית, אבל המקור ממנו שאבנו את המידע שהחוק הזה מתאר נכון את המציאות שלנו הוא התצפית ולא הלוגיקה או המתמטיקה. המתמטיקה היא רק השפה שבה אנחנו מנסחים את הממצאים האמפיריים הללו.

המסקנה היא שיש ממדים לוגיים מתמטיים בחשיבה שלנו על המציאות, אבל זה רק מרכיב אחד, הכרחי ולא מספיק, של תיאוריה מדעית. היא כמובן צריכה להיות עקבית לוגית, אבל העקביות, כמו גם הלוגיקה בכלל, לא אומרת שהיא נכונה. יש תיאוריות עקביות רבות, גם במקום שבו רק תיאוריה אחת היא נכונה (ראה דוגמת הגיאומטריות בסעיף הקודם).

הברירה הטבעית היא דוגמה טובה מאד לערבוב הזה. בספרי אלוהים משחק בקוביות טענתי שהברירה הטבעית היא טאוטולוגיה לוגית, כלומר טענה לוגית נכונה בהכרח וריקה ממידע עובדתי.[3] ניתן לגזור אותה אפריורי מההיגיון בלבד ללא צורך בתצפית. בשפה אחרת ניתן לומר שהיא ענף של המתמטיקה ולא של המדע. זו היתה אחת הטענות שעוררה הכי הרבה התנגדות וכעס אצל הקוראים, ועדיין אני עומד בתוקף על כך שהיא נכונה (בהכרח).

הברירה הטבעית בעצם אומרת את הדבר הבא: בהינתן כמה סוגי יצורים (מוטציות), חלק מהם ייכחדו בגלל אילוצים ונסיבות קשות. אלו שישרדו הם העמידים יותר בפני הנסיבות הללו. ומכאן: שאלו שיעברו לדור הבא יהיו העמידים (משוכללים, או מוצלחים) יותר. זהו עקרון הישרדות השרידים. אם משהו שרד אז ברור שהוא שריד, ולכן השריד שרד. אם היה משהו שלא שריד ושרד – אות הוא שהוא כן שריד (טעינו בהנחה). אם היה משהו שריד שלא שרד – המסקנה היא שהוא לא באמת שריד (טעינו בהנחה). אבל הטענה שהשריד שורד היא טאוטולוגיה, כלומר שייכת ללוגיקה ולא לפיסיקה. להלן אפרט זאת מעט יותר.

תפקידם של מבחני ההפרכה

הלוגיקה והמתמטיקה לעולם לא עומדות למבחני הפרכה אמפיריים. אף אחד לא יכול להפריך את הטיעון 2+3=5, או את הטיעון שבמרחב אוקלידי סכום הזוויות הוא 180 מעלות. לעומת זאת, תיאוריה מדעית אמורה לעמוד למבחני הפרכה. יתר על כן, היא מדעית רק אם עקרונית ניתן להעמיד אותה במבחנים כאלה. אם היא תעמוד בהם אז היא תיאוריה מדעית מאוששת (או לדעת הממעיטים: תיאוריה שטרם הופרכה), ואם לא – אז היא תיאוריה מדעית לא נכונה (תיאוריה שהופרכה).

כעת חשבו האם וכיצד ניתן להפריך את התיאוריה שסכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות? לכאורה התשובה פשוטה: עלינו לצייר משולש, למדוד את הזוויות ולסכם. אם קיבלנו 180 אוששנו את התיאוריה, ואם לא – הפרכנו אותה. מה יקרה אם נצייר משולש כזה ואכן נקבל שהסכום הוא 317 מעלות? התיאוריה הופרכה. אבל מדובר במתמטיקה (גיאומטריה) ולא במדע, אז איך אפשר להפריך אותה אמפירית? טעות. לא מדובר בגיאומטריה אלא בפיסיקה. לא הפרכנו את הטענה המתמטית שבמרחב אוקלידי סכום הזוויות במשולש הוא 180, אלא את הטענה הפיסיקלית שהחלל בעולם שלנו הוא אוקלידי. זו טענה בפיסיקה וככזו אין פלא שהיא צריכה לעמוד למבחני הפרכה.

פעם כשלימדתי מכניקה שאלתי את הסטודנטים האם הם יכולים להציע ניסוי שיעמיד את התיאוריה 2+3=5 למבחן הפרכה אמפירי. היו שענו: טול 2 תפוזים והכנס לקערה. טול עוד 3 והכנס גם אותם לקערה. כעת ספור את מספר התפוזים הכולל בקערה. אם קיבלת 5 – התיאוריה אוששה, ואם לא (למשל אם ספרת וקיבלת 8) – היא הופרכה. המסקנה היא שלכאורה התיאוריה 2+3=5 היא לא מתמטית אלא מדעית, שהרי היא עומדת להפרכה.

אלא שגם כאן מדובר בטעות. נסו לדמיין מצב (בלתי אפשרי לחלוטין כמובן) שעשיתם את הניסוי, ואכן אתם אמנם משפשפים עיניים בתדהמה אבל סופרים שוב ושוב 8 תפוזים בקערה. האם כעת תאמרו לעצמכם שצריך לפתח אריתמטיקה חדשה (כי הישנה הופרכה)? ברור שלא. אתם ודאי תחפשו מה קרה שם, אולי עוד מישהו הכניס תפוזים לסל. אולי כבר היו בו תפוזים ולא שמתם לב וכדומה (טעות בניסוי). נניח שלא תמצאו הסבר. יש מצלמה שעוקבת אחרי הקערה ורואים שהיא היתה ריקה ושאף אחד אחר לא ניגש אליה. מה אז? טוב, אפשר גם לומר שהמצלמה התקלקלה/הוחלפה וכדומה. שללנו גם את זה, מה נאמר אז? האם נוותר על התיאוריה 2+3=5. ודאי שלא. אנחנו נוותר לכל היותר על ההנחה הפיסיקלית שהוספת תפוזים לסל מתוארת/מיוצגת היטב על ידי חיבור אלגברי. ההנחה הזאת היא טענה פיסיקלית ולא מתמטית, וככזו היא עומדת למבחני הפרכה אמפיריים (כמו טבעו האוקלידי של העולם בדוגמה שלמעלה).[4]

הדיון עם הסטודנטים נערך כהקדמה ללימוד של חשבון הווקטורים, שהוא החשבון שמתאר הוספת כוחות, מהירויות, או תאוצות במכניקה. אמרתי לסטודנטים שם, טלו גוף נקודתי. הפעילו עליו כוח של 10 ניוטון (יחידת הכוח המקובלת במכניקה היא ניוטון) צפונה ועוד כוח של 10 ניוטון מזרחה. מה סך הכוח שפועל על הגוף? לא כולם ידעו את התשובה, אבל כולם הבינו שזה לא 20 ניוטון. התשובה היא 14 ומשהו (2√10). האם הפרכנו את החוק האריתמטי 10+10=20? בהחלט לא. הפרכנו את ההנחה הפיסיקלית שהוספת כוחות בפיסיקה מתוארת על ידי חיבורי אריתמטי. התיאור הנכון הוא חיבור ווקטורי.

המסקנה היא שהפיסיקה היא שמכריעה איזו לוגיקה או איזו מתמטיקה מתארת נכון את העולם. אין שום טענה על העולם שיש לה תוקף מתמטי. יש רק טיעונים מתמטיים או לוגיים שישימים לעולם: שאם הוא אוקלידי (כלומר מקיים את הנחות הגיאומטריה האוקלידית) אז סכום הזוויות במשולש שנצייר בו הוא 180. רק ה"אם-אז" הוא בעל תוקף לוגי וודאי, אבל המסקנה לעולם לא. השימוש בשפה המתמטית אין פירושו שמדובר במתמטיקה. גם הפיסיקה משתמשת בשפת המתמטיקה.[5]

בחזרה לברירה הטבעית

כעת נוכל לבחון האם ניתן להפריך את הברירה הטבעית. אם מדובר בתיאוריה מדעית היא אמורה לעמוד למבחני הפרכה אמפיריים. אמנם רבים טוענים שהיא אכן מדעית וניתנת לפריכה אמפירית, אבל אני לא השתכנעתי. נניח שעשינו את הניסוי הבא: לקחנו שני עצמים, A ו-B, כש-A שריד יותר מ-B. הנחנו אותם בסיטואציה נתונה זהה, וקיבלנו שדווקא B שרד ו-A נכחד. לכאורה הפרכנו את תיאוריית הברירה הטבעית (שהשריד יותר שורד). שוב טעות. מה שהפרכנו הוא את ההנחה ש-A יותר שריד מ-B (או באופן כללי יותר את הגדרת השרידות בה השתמשנו). אם A יותר שריד מ-B אז בהכרח הוא אמור לשרוד טוב ממנו (בנסיבות הנתונות הללו כמובן). ואם B שרד טוב יותר אז ברור שהוא גם השריד יותר.

המסקנה היא שכל עוד לא יצקנו תוכן במונח "שריד", לא אמרנו מאומה מעבר לטאוטולוגיה לוגית. מה ששריד ישרוד ומה שלא לא. התיאוריה הזאת הופכת למדעית אך ורק כשהיא יוצקת תוכן קונקרטי (שניתן להפרכה אמפירית) במונח "שריד". אם מישהו יטען שמי שבעל שרירים חזקים יותר הוא שריד יותר, כעת ניתן להעמיד את הברירה הטבעית למבחן אמפירי ולראות האם אכן התזה הזאת תופרך או תאושש. אם בעל השרירים החזקים יותר ייכחד אות הוא שהטענה ששרירים נותנים לי יותר שרידות אינה נכונה. אבל גם עתה השריד לעולם שורד, אלא שיש לעדכן את התוכן האמפירי שיצקנו במושג "שריד".

אז מה החשיבות של תיאוריה טריביאלית כזאת אם היא לא ניתנת להפרכה? מדוע בכלל אמירות טאוטולוגיות כאלה מועילות לנו? מפני שהן נותנות לנו מסגרת תיאורטית שבה ניתן לחשוב, לחקור ולהתקדם. זה נעשה על ידי מבחני הפרכה. אחרי שהבנו את העיקרון האבולוציוני שהשריד שורד, כעת ניתן לשאול מהן תכונות שמועילות לשרידות ולבחון אמפירית את התשובות השונות (להעמיד אותן למבחני הפרכה). התובנה שנתנה לנו הטאוטולוגיה הזאת היא חשובה מאין כמוה. אבל צריך להיזהר מלראות אותה כטענה מדעית. בה במידה חשוב לא פחות לא לזהות את הטענות המדעיות עם הלוגיקה שביסודן.

חוק וונדרוולדה

אחת ממידות הדרש היא הקל וחומר. היסק של קל וחומר מופיע כמה פעמים גם במקרא עצמו. לדוגמה: "הן בני ישראל לא שמעו אלי ואיך ישמעני פרעה", כלומר אם עם ישראל לא שומע לפרעה אז פרעה ודאי לא ישמע אליו. קל וחומר מבוסס על הנחה של יחס קולא וחומרא בין הלמד למלמד. ישראל אמורים להיות ממושמעים יותר מפרעה, ואם הם לא שומעים אל משה אז פרעה ודאי לא ישמע לו. אבל קל וחומר ניתן לפריכה על ידי העלאת שיקול נגדי. לדוגמה, טיעון שיסביר מדוע דווקא פרעה יכול להימצא צייתן יותר מעם ישראל מסיבה כלשהי. אם כן, קו"ח אינו טיעון לוגי, שכן אין לנו וודאות מלאה בתקפותו. ניתן לאמץ את ההנחות שלו ולדחות את המסקנה. כמובן שאם נאמץ את ההנחות שעם ישראל לא שמע בקול ה', וגם את ההנחה שפרעה פחות צייתן מישראל, המסקנה שפרעה גם הוא לא יציית נובעת בהכרח. אבל ברור שההנחה שהוא פחות צייתן פתוחה לפרשנויות, שהרי ייתכן שבנסיבות מסוימות הוא דווקא יציית יותר.

בעלי הכללים עומדים על כך שיש סוג מיוחד של קו"ח שנקרא אצלם "בכלל מאתיים מנה", כלומר קו"ח כמותי, שבו לא ניתן לפרוך את הקו"ח. אלו מקרים שבהם הלמד מוכל במלמד, ולכן שם המסקנה היא הכרחית. כך, לדוגמה, יש פסוק שעוסק בחיוב אדם על נזקי בורו ברשות הרבים: "כי יפתח איש בור או כי יכרה איש בור". המכילתא דורשת מכאן "אם על הפתיחה חייב על הכרייה לא כל שכן". כלומר די היה שהפסוק יכתוב חיוב על הפתיחה (הורדת כיסוי מבור מכוסה) ונלמד מכאן חיוב על הכרייה (חפירה שיוצרת את הבור). מדוע? לא רק מפני שפתיחה קלה מכרייה (כמו בקו"ח רגיל), אלא מפני שפתיחה כלולה בכרייה בבחינת בכלל מאתיים מנה (שני מנים כוללים בוודאות מנה אחד). אם יש חיוב על הפתיחה, אזי בהכרח יהיה חיוב על הכרייה לא כי הכרייה חמורה יותר  מפתיחה אלא מפני שבכל כרייה יש בפרט גם פתיחה (כשאנחנו כורים בור, כחלק מהתהליך הזה בפרט אנחנו גם מסירים את השכבה העליונה שמכסה אותו). לכן אפשר לחייב על הכרייה מצד הפתיחה שיש בה. זהו היסק הכרחי, שכן מה שמוטל על הפותח ודאי מוטל על הכורה כי כל כורה הוא בפרט גם פותח.

קל וחומר כזה נחשב על ידי כמה מבעלי הכללים כדדוקציה לוגית, כלומר כטיעון שלא ניתן להפרכה. לכן יש מהם שכתבו שאם יש דין שנלמד בקו"ח כזה ניתן לענוש את מי שעובר עליו, למרות שבהלכות שנלמדות מקו"ח רגיל לא עונשים (אין עונשין מן הדין). הסיבה לכך היא שלא עונשים בגלל החשש שמא יש פירכא,[6] אבל בקו"ח מטיפוס "בכלל מאתיים מנה" אין חשש לפירכא ולכן אפשר לענוש.

אבל מתברר שזה לא המצב. אמנם המבנה הלוגי הזה לא ניתן להפרכה, אבל כאשר מדובר על יישומים שלו בעולם הם פתאום כן ניתנים לפריכה. חיים פרלמן, פילוסוף יהודי בלגי של המשפט, מביא לכך את הדוגמה הבאה. היה בבלגיה חוק שקרוי חוק וונדרוולדה (שם של מקום). החוק אסר למכור בבתי מרזח כמות של שני ליטר יין. הסיבה לכך היא שהמחוקק רצה שהפועלים יביאו את משכורתם השבועית הביתה ולא יוציאו את הכסף בבית המרזח. והנה, בא פועל מתחכם למוזג וביקש ממנו לא פחות מעשרה ליטר יין. המוכר סירב בטענה שזה לא חוקי. העניין הגיע לבית המשפט, ולכאורה היינו מצפים שיד המוכר תהיה על העליונה. שימו לב שמדובר כאן בקו"ח של "בכלל מאתיים מנה". כפי שראינו, לכאורה זוהי לוגיקה צרופה (דדוקציה): הרי מכירת עשרה ליטר היא בפרט מכירה של שני ליטר, אלא שמוכרים עוד שמונה ליטרים. וכי הוספת עוד שמונה ליטרים תתיר את מכירת שני הליטרים הראשונים?

אתם כבר יכולים לשער שלמרבה הפלא השופט הכריע לטובת הקונה. נימוקו היה שהחוק אמנם אוסר למכור שני ליטר כדי שהמשכורת תגיע הביתה, אבל החוק לא אוסר על אדם להשקיע את ממונו ביין למסחר. ברור שמותר לפועל להחליט שחוץ מעבודתו הרגילה הוא רוצה גם להיות סוחר יין (חוק יסוד חופש העיסוק). לכן קניית כמויות שמעבר למשכורת שבועית של פועל אינה אסורה.

מסקנות

הטיעון הזה אינו אלא פירכא על קו"ח מטיפוס "בכלל מאתיים מנה". איך קורה נס כזה? כיצד ניתן לפרוך היסק לוגי תקף? התשובה היא שלא פרכו את הלוגיקה אלא את התוכן המשפטי שנוצק לתוכה. אמנם במישור הפיסי שני ליטר ודאי מוכלים בעשרה ליטרים, אבל משפטית לא. במישור המשפטי יש בשניים משהו שאין בעשרה. זוהי עוד דוגמה לכך שגם היסקים וטיעונים שנראים לנו לוגיקה צרופה, כאשר אנחנו באים ליישם אותם בעולם, הם מאבדים את וודאותם וההכרחיות הלוגית שלהם. המבנה הלוגי הוא כמובן חסין מטעויות ומפירכות, אבל יישומו בעולם כרוך בהנחות שמעבר ללוגיקה, והנחות אלו (שהן משפטיות או פיסיקליות) לעולם ניתנות לפריכה.

משמעות הדברים היא שהשימוש בלוגיקה ביחס לחיים ולמציאות תמיד מכיל עוד רכיבים מעבר ללוגיקה. הלוגיקה היא חלק הכרחי אך לא מספיק של התיאוריה המדעית ושל התובנות שלנו לגבי המציאות. המבנה הלוגי של התיאוריה מהלך עלינו קסם ונראה לנו הרמטי, וודאי ובלתי ניתן להכנעה. לא בכדי אנחנו מדברים על "מדעים מדויקים". אך לא היא. הוודאות והמוחלטות אמנם מאפיינות את הלוגיקה בעולמות אפלטוניים מופשטים, אבל בחיים המצב לעולם מורכב יותר ופחות וודאי ונחרץ.

בשני הטורים הקודמים דיברתי על כך שהמציאות מגלה סרבנות ביחס לכל תיאוריה, מדעית או אחרת. כאן ראינו היבט מרחיק לכת הרבה יותר: המציאות מעיזה את פניה גם כלפי הלוגיקה והמתמטיקה, על אף שטיעוניהם נתפסים, ובצדק, כוודאיים. עצם היישום של הלוגיקה והמתמטיקה על המציאות די בו כדי להוציא אותן מכלל לוגיקה ולפגום בוודאות ובתקפות שלהן.

הוא אשר אמרנו: הלוגיקה היתה יכולה להיות מושלמת אם העובדות לא היו

[1] הקשר היחיד בין תקפות של טיעון לבין אמתיות של הטיעונים שמרכיבים אותו הוא הבא: אם הטיעון הוא תקף, אזי אם שתי הטענות הראשונות (ההנחות) אמתיות אזי בהכרח השלישית גם היא אמתית.

[2] זאת בלי להיכנס לשאלה הקונטרוברסלית האם ניתן להעמיד את המתמטיקה על הלוגיקה, שאלה ששנויה במחלוקות קשות במאה השנים האחרונות.

[3] ספרי שתי עגלות מוקדש כמעט כולו לקשר בין הוודאות לוואקום האינפורמטיבי.

[4] בספרי אלוהים משחק בקוביות התייחסתי לטענה הזאת כטאוטולוגיה פרקטית. סביר להניח ששום דבר לא יגרום לנו לחשוב שהוספת תפוזים לסל אינה מתוארת על ידי אריתמטיקה פשוטה. דומני שגם אם לא יימצא  הסבר נניח שקיים הסבר כזה שנעלם מאתנו. לעולם לא נסכים לוותר על ההנחה שהוספת תפוזים לקערה מתוארת על ידי חיבור אריתמטי, למרות שמדובר בהנחה פיסיקלית (כלומר הנחה שטוענת טענה על העולם, ולא רק קושרת בין טענות).

[5] זו נחשבת אחת החידות הפילוסופיות הגדולות מאז היווסדו של המדע המודרני. כיצד המתמטיקה שלא מתארת את העולם אלא את צורת החשיבה שלנו, נמצאת כלי מצוין לתאר את העולם עצמו. כיצד קרה הנס ש"היקום כתוב בשפת המתמטיקה".

[6] ההסבר הזה לא מוסכם, ולדעתי הוא לא נכון. אבל כאן זו רק דוגמה.